雪花有正六邊形的二面體對稱。
在數學中,二面體群
是正
邊形的對稱群,具有
個元素。某些書上則記為
。除了
的情形外,
都是非交換群。
生成元與關係[编辑]
抽象言之,首先考慮
階循環群
。反射
是
上的自同構,而且
。定義二面體群為半直積
![{\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f8e6e2e5cd74ab6502b424e1a4d630068fbda3)
任取
的生成元
,
由
生成,其間的關係是
![{\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62791b129e7ede74dbdca68e5ba0ee4fab060bef)
的元素均可唯一地表成
,其中
,
。
幾何詮釋[编辑]
n=5 的情形:反射對稱
n=5 的情形:旋轉對稱
二面體群也可以詮釋為二維正交群
中由
(旋轉
弧度)
(對 x 軸反射)
生成的子群。由此不難看出
是正 n 邊形的對稱群。
的中心在
為奇數時是
,在
為偶數時是
。
- 當
為奇數時,
同構於
與二階循環群的直積。同構可由下式給出:
![{\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce461f582dbaf22c14678fcc5b0d1fc5e05437)
其中
,
。
- 當
為奇數時,
的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當
為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正
邊形的頂點。
- 若
,則
,由此可導出
共有
個子群,其中的算術函數
與
分別代表
的正因數個數與正因數之和。
當
為奇數時,
有兩個一維不可約表示:
![{\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4ab88e2fc9c498ce2d9b3307fe68abf9286428)
當
為偶數時,
有四個一維不可約表示:
![{\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c60c7a7c31320a72165605b7e7f2b2c42d4f7d1)
其餘不可約表示皆為二維,共有
個,形如下式:
![{\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e952c9840785915b7d2bfa6fa9bdd56484238a24)
其中
是任一 n 次本原單位根,
過
。由
給出的表示相等價若且唯若
。